Las matemáticas del abanico de pavo real: ángulos, formas y patrones

Una fotografía real para observar formas. Los cálculos del artículo pertenecen a un modelo didáctico, no a mediciones de este ejemplar.

Mira el despliegue de un pavo real durante unos segundos y resulta tentador buscar una fórmula: filas, arcos, repeticiones, una mitad que parece responder a la otra. Podemos usar las matemáticas para explorar esa impresión. La clave está en separar el dibujo que construimos del animal que observamos.

Primero, decidir qué vamos a medir

Podríamos contar los ocelos visibles —los dibujos con aspecto de ojos—, comparar distancias entre sus centros o trazar direcciones desde un punto de referencia. Son tres tareas distintas. Antes de sacar una regla conviene elegir una; de lo contrario, es fácil cambiar de criterio hasta encontrar el patrón que esperábamos.

En el siguiente ejemplo no medimos una fotografía ni intentamos reconstruir las plumas del ave. Dibujamos un sector circular: una porción de círculo con dos bordes rectos que parten del mismo punto. Sobre su arco colocamos marcas separadas por ángulos iguales. Es una simplificación que podemos controlar y comprobar.

Nueve marcas y una pequeña trampa al contar

Imagina un arco que abre 120 grados. Colocamos nueve marcas, incluyendo una en cada extremo. ¿Cuántos espacios quedan entre ellas? Ocho. Por eso cada intervalo angular mide 120 ÷ (9 − 1) = 15 grados. Dividir entre nueve daría un resultado que no corresponde a este dibujo.

El detalle sirve para cualquier número de marcas en este modelo: si hay n marcas, con n mayor que uno, y están incluidos los dos extremos, hay n − 1 intervalos. Una abertura de 120 grados con trece marcas deja doce intervalos de 10 grados. Hemos cambiado la densidad del dibujo sin cambiar la abertura.

Más lejos del centro, más espacio entre puntos

Dos radios separados por el mismo ángulo se alejan entre sí conforme avanzamos hacia fuera. Si todas las marcas están sobre un arco de radio r y el ángulo entre dos marcas consecutivas es Δθ, la distancia recta entre ellas es 2 × r × sen(Δθ ÷ 2). Esa línea recta es una cuerda del círculo; no debe confundirse con el recorrido curvo del arco.

Con los 15 grados del ejemplo y un radio de 10 centímetros, la distancia recta es aproximadamente 2,61 centímetros. Si duplicas el radio a 20 centímetros, pasa a unos 5,22 centímetros. Las medidas son de nuestro dibujo. No describen la separación real entre ocelos de un pavo real.

¿Y la proporción áurea o Fibonacci?

Que un dibujo resulte armonioso no demuestra que siga la proporción áurea. Tampoco basta encontrar dos cantidades que encajen después de escoger qué contar. Para estudiar una posible relación habría que definir las posiciones, el punto de referencia, el patrón esperado y cuánto error aceptaríamos antes de mirar el resultado.

Una prueba casera honesta puede empezar marcando los centros de varios ocelos visibles en una foto frontal. Guarda el criterio y repítelo con otra imagen. Si cambias el centro de referencia o descartas puntos cada vez que no encajan, ya no estás comprobando la misma idea. No necesitamos prometer una fórmula secreta para disfrutar buscando regularidades.

Una fotografía también cambia las formas

Prueba a dibujar un círculo sobre una hoja y míralo de frente. Después inclina la hoja: la forma que ves se aplasta. Algo parecido obliga a ser prudentes al medir figuras en una fotografía. La orientación y la perspectiva influyen en su aspecto; un contorno ovalado no permite reconstruir por sí solo la forma original de una superficie.

El despliegue, además, se mueve. Las investigaciones sobre su biomecánica estudian vibraciones y la posición de los ocelos durante el movimiento. Nuestro sector inmóvil deja fuera todo eso. Sirve para aprender geometría, no para sustituir el estudio de una estructura viva.

Haz la prueba en papel

Necesitas un lápiz, una regla y un transportador. Dibuja dos segmentos que formen 120 grados y marca direcciones cada 15 grados, incluyendo ambos bordes. Sobre cada dirección coloca un punto a 10 centímetros del centro. Tendrás las nueve marcas del esquema que aparece debajo.

Repite el dibujo con el mismo ángulo y un radio de 5 centímetros. Los ángulos se conservan y las distancias rectas entre marcas se reducen a la mitad. Puedes hacerlo en uno de tus cuadernos y anotar qué has mantenido y qué has cambiado. Esa comparación, sencilla y repetible, enseña más que encajar una espiral sobre una foto por intuición.

Fotografía: Manoj.garde · Peacock display, CC BY-SA 4.0. Reducida y optimizada.